Ethics, Ethical Objectivity - Objection to Arguments of Companions in Guilt

To begin with, I believe in ethical, moral objectivity. I believe there's no particular problem in proving this/make a good case for it.

1. That the ethical system is flawless in the sense that there is no obvious allowance of moral wrongdoing in it.
2. "...ethical claims are objective if it is possible for agents who make them to do so correctly or incorrectly. Objectivity in this sense implies the possibility of moral error.(3)" That is to say that moral mistakes exist, not that moral errors are committed ethically.
3. "...ethical claims are objective if they are 'answerable to substantial [ethical] facts and properties in the world that exist independently of the contingent practice of making those claims and the relevant attitudes of those who make them' (p. 6)(1).(4)"
4. "...ethical claims are objective if reasonable agents competent with the concepts that constitute them would converge in 'favorable circumstances of rational inquiry' (p. 7)(2).(5)" That is to say, in my opinion, that there are objective moral duties in relation to the object in question.

From the book review of (1)(2)Hallvard Lillehammer's Companions in Guilt: Arguments for Ethical Objectivity written by (3)(4)(5)Terence Cuneo in the journal Mind Volume 118, Number 470, April 2009, ISSN 0026-4423.

It's also worth mentioning the book of Paul Bloomfield's Moral Reality, OUP, 2004 that the review mentions.

I see the description of an Ethical Objective system as an (mathematical) intersection of the above 4 points. The Ethical Objective system should thus satisfy the most strict and strongest requirements for such a system. It's worth noting that it should be humanly possible to fit into it with a least one member, one human being, and that it should live up to general requirements of plausibility and reasonability.

One more thing: I think it should be noted that "reasonable agents" mean people who are able to separate right from wrong and are basically in agreement with the actual system of ethics in question. If the case is otherwise, they fall into a different group and are not relevant to the system that is being discussed. This may limit the number of people who can adhere to that system quite severely, but that is the nature of the current diversity of humanity.

I've made some additions to the book review and as such the whole is more a new argument than a factual instance that I like to address.

The framework for every Ethical Objective System can be as extensive as every legal framework as I see it, without imposing particular problems.

The further work to the Ethical Objectivity is this. The obstacle one meets is concerning depth. I think the human cognition decides the depth of the ethical system's reach, absolutely and objectively, of the Ethical Objectivity discussed. If the human being can't have knowledge about a deeper fact of nature then one can't also say that the human being can commit any mistakes in that relation. It's therefore of no use to point to a phenomenon that lies outside the normal or possible human cognition because a sufficient ethically objective system isn't constructed at all to take care of those phenomena's ethical content. No matter what, the ethically objective system will therefore relate to our common life-world, the life-world that one can actually say something objective about. It's therefore the case that all hypothetical micro- and macro-phenomena are outside the domain that actually can have some influence on the human being's ethical and moral life. It's therefore not decisive to have absolute knowledge to have an efficient ethical objective system as long as one does one's duties for the best in this actual effective ethical objective system in what concerns information and possibilities. In that kind of view, one can plausibly say that doctors in ancient history may have been acting ethically objective in some cases, if not all, of course, despite a very limited knowledge about the human body. It's clear that science will form an outer frame for our life-worlds wherein this Ethical Objective System functions as in the question of preventive measures concerning Global Climate Changes and also about our limitations in size of total world population that should or can exist without collapsing into chaos and extinction of being examples of conscious beings capable of knowledge, possibly effecting one's own salvation.

Consequently, let's look at abortion again. What if two parties agree on the fact that guilt may not apply for abortion because there are factors that speak strongly for and against as well as the indeterminate status of the fetus to be removed, both on brain function and emotional function(1) when the procedure is carried out? Thus, abortion for these two parties remains a private, informed and "esoteric" decision, yet respected by either party in companionship without guilt!

Hypothetically speaking, it's plausible to say that being a human without an ethical system in the 21st century and aligning oneself with the ancient humans and humanoids like the Cro-Magnons, seems just crazy! It's laying such a waste to a whole heritage, legacy of philosophical civility! The ancient humans before civilization can be said to be driven by evolutionary, biological instincts! Nihilism, relativism or other destructive ethical approaches are historically insensitive, possibly rationally insensitive, absurd or out of touch.

As much as Paul Bloomfield makes the argument of having and maintaining good physical health, I'd like to add the following:
It should be possible to determine Integrity, Mental Health and Physical Health by keeping one's ethics. People may fool themselves, but I think that the most sensitive factor of these three, being Integrity, is very much affected by both bad attitude/mindset and bad actions, altogether being bad morals and possibly bad ethics.

Through the arsenal of diagnostics like various lie-detectors, (f)MRI-scans, interviews, somatic examinations and what have you it should be possible to make good judgment on the status of these 3 factors, Integrity, Mental Health and Physical Health. Any reasonable doubt can therefore be removed for what kind of companion one is socialising with. Any person with substantial deviation in either Integrity, Mental Health and Physical Health from the characteristics that are condoned by exactly this Ethical Objectivity can thus be excluded from the desirable group of people that comply with Ethical Objectivity. The days of the Arguments of Companions in Guilt are consequently numbered!

It should be a fundamental belief that morality/ethics is to respect rationality in others, also the potential of such in others, eg. children. This doesn't capture ecology very well, but I can think of it as intelligent/rational to allow nature and animals alike a natural life (for various reasons) incl. agricultural/aquacultural. Thus, as this is a facet of being rational as a person, every person should respect people with ecological views and the ecological view therefore becomes the only ethical view in this respect, a general starting point.
Rationality in this sense is nothing mysterious. It's just the capacity to score well/great on IQ-tests, having a fine, intelligent flow of thoughts and doing a good or great working performance, whatever this may be, being in the stream so to speak!

Although I've written about rationality above I like to write the following to make it perfectly clear. There are (at least) two kinds of Rationality that it's fair to speak of. One is the rationality according to function, being the way you apply your mind to whatever problems, practical or intellectual. The other one is rationality as in being of good mental health, being well-developed. It should be clear that rationality is the top premise of this Ethically Objective system that I ascribe and develop from a Neo-Kantian position.

This is a writing for removing any religious notion to the word Rationality and thus the system of Rationality may seem reasonable to everyone. I'm in doubt whether I. Kant has meant any religiousness at all with his "kingdom of ideas". People have interpreted it this way, but I can't see that there's a single factual instance of this in his text. Quite the opposite, I think he thinks that the common person is able to make clever thoughts, to take part in the "kingdom of ideas". I find this a much more charitable reading of him and it makes him look better too!

Repugnance and appeal to emotions/feelings/aestheticism are not any good way to get there even though I support every argument that makes a good foundation for Ethical Objectivity.

It should be noted that people of good moral attitude and behaviour seem better able to create and maintain, by keeping the duties, social relationships both in symmetric and asymmetric terms.

I'm with Dr. Sam Harris when he argue by objectivity of flourishing and happiness, potentially by and in everyone, on TED Talks that some/all moral questions or some/all outside spectrums of some/all moral spectrums can be answered by science. Now, I don't know if this is consensus within a group of scientists and philosophers alike and if this is documented by scientific articles. He does mention psychology and neuro-science as two (obvious) angles to answer this scientifically. It must be admitted by myself, whether or not Dr. Sam Harris agrees, however, that flourishing and happiness are still normative, unscientific, ethical objectives. One can indeed be relatively poor and still be generally happy and one can work too much and thus flourish beyond one's happiness. It's also a question to what ends we are supposed to be flourishing and happy. Where does this flourishing and happiness lead to if there's no destination in sight? Isn't then life only a matter of taste and artistry in life? What about doing extreme sports and other activities where one does risk one's own life? The question is not so much a matter of this risk-taking person's life, but this person's social connections, possibly causing grief in these people by the risk-taking. Thus, it's yet to see to what extent one can fully argue that the objectives of flourishing and happiness can be scientific. Indeed, this scientific notion has implicitly some kind of normative destiny to it that Dr. Sam Harris is in debt to answer.

It's admirable of Dr. Sam Harris of denoting this "scientific", given the normative objectives, and at the same time quenching the lunatics who promote death and destruction. It's certainly worth a thorough scientific study of what underlying causes there are for people's misfortunes when it's so commonly known that most or all people like to be happy, flourishing or both.

(1)Remark concerning abortion by The Royal College of Obstetricians and Gynaecologists (RCOG):

By The Royal College of Obstetricians and Gynaecologists (RCOG),

"Fetal Awareness - Review of Research and Recommendations for Practice".

From this link:
http://www.rcog.org.uk/fetal-awareness-review-research-and-recommendations-practice

Fetal Awareness

* The fetus cannot feel pain before 24 weeks because the connections in the fetal brain are not fully formed
* Evidence examined by the Working Party showed that the fetus, while in the chemical environment of the womb, is in a state of induced sleep and is unconscious
* The Working Party concluded that because the 24 week-old fetus has no awareness nor can it feel pain, the use of analgesia is of no benefit
* More research is needed into the short and long-term effects of the use of fetal analgesia post-24 weeks.

The full report: http://www.rcog.org.uk/files/rcog-corp/RCOGFetalAwarenessWPR0610.pdf

Article, this particular webpage, is published: 25/06/2010 (summary and more).

Game over! You lose, relativists and subjectivists! I'd say there is no objection by the subjectivists and relativists that can overcome Ethical Objectivity (now)! I've been meditating this for quite a while and I'm now at peace by the preceding sentences. There is simply no chance to refute Ethical Objectivity anymore.

The argument is not finished by these words and remains to be made a paper of academic quality, if not a book.

By Terje Lea / Leonardo F. Olsnes-Lea, 2009 - 2010, 2012 - and still ongoing.

By Terje Lea, 11th November, 2009, 9th December, 2009, 11th December, 2009, 6th March, 2010, 24th March, 2010, 26th March, 2010, 12th April, 2010, 22nd April, 2010, 25th April, 2010, 26th April, 2010, 4th May, 2010, 10th May, 2010, 9th June, 2010, 28th June, 2010 and 24th October, 2010. Minor change of title, 18.11.2010. Now controlled under my new name, Leonardo F. Olsnes-Lea.

Over Animal Ethics and to PETA Too - This time it is the pigs...

Over PETA again and domestic animals, being a part of the animal ethics and applied ethics
This time it is over the pigs. The suggestion is one of multi-modal-approach, that the covers/shelters to wind and rain out on the grass fields must be in place, or at least is in place normatively as by recommendation and that one arranges for the animals to have special birth-bins with half-concrete (but enough still) and half-grass mat as with the cows and oxes formerly explained. Ordinary bins as with the cows and oxes (although they are called "stalls") should also be arranged for, but pigs are less complicated because they are not milked! Then the rest is up to you. Some even play music for the animals. This also concerns food and so on. Cleanliness level should be as high as vet standards demand and general animal standards outside this is also (largely/sufficiently) described by vet standards! Good luck to you, the farmers, the agronomists!
Note: For whatever the shelters, the bins, the stalls, animals do not walk about sharp edges very well and get easily cut up! This is also a notice, but probably already well into the vet's recommendations!
Note2: Just published to Facebook as message under profile and note also. Today, 2012-09-21 CEST.

A Part of Gödel's Paper on the Two Incompleteness Theorems

First, here you have some in German, as I aim for Section 3 and 4 to complement the work by M. Hirzel given freely elsewhere on the Internet. So German now and English later:

On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I.

(German: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I.)

 

Kurt Gödel, Wien

[Section] 3.

Wir ziehen nun aus Satz VI weitere Folgerungen und geben zu diesem Zweck folgende Definition:
Eine Relation (Klasse) heißt arithmetisch, wenn sie sich allein mittels der Begriffe +, . [Addition und Multiplikation, bezogen auf natürliche Zahlen, (x), = definieren l Zahlen beziehen dürfen Entsprechend wird der Begriff "arithmetischer Satz" definiert. Insbesondere sind z.B. Die Relationen "größer" und "kongruent nach einem Modul" arithmetisch, denn as gilt: x > y ~(Ez) [y = x + z]

x º y (mod n) ~(Ez) [(x = y + z & n) Ú (y = x + z & n)] Es gilt der

Satz VII: Jede rekursive Relation ist arithmetisch.
Wir beweisen den Satz in der Gestalt: Jede Relation der Form x₀ = j (x₁ ... x_n) wo j rekursiv ist, ist arithmetisch, und wenden vollständige Induktion nach der Stufe von j an. j habe die s-te Stufe (s > 1). Dann gilt entweder:

1.   j (x₁ ... x_n) = r [c₁ (x₁ … x_n), c₂ (x₁ … x_n), … cm (x₁ … x_n)]5 (wo r und sämtliche c_i kleinere Stufe haben als s) oder:

2.   j (0, x₂ ... x_n) = y (x₂ … x_n)

j (k + 1, x₂ ... x_n) = m [k, j (k, x₂ … x_n), x₂ … x_n]

(wo y, m niedrigere Stufe als s haben).

Im ersten Falle gilt:

x₀ = j (x₁ … x_n) ~(E y₁ … y_m) [R (x₀, x₁ … x_n) & S₁(y₁, x₁ … x_n) & ... & S_m(y_m x₁ … x_n)] wo R bzw. S_i die nach induktiver Annahme existierenden mit x₀ = r (y₁ … y_m) bzw. y = c_i(x₁ ... x_n)  äquivalenten arithmetischen Relationen sind. Daher ist x₀ = j (x₁ … x_n) in diesem Fall arithmetisch.
 

Im zweiten Fall wenden wir folgendes Verfahren an: Man kann die Relation x₀ =  (x₁ … x_n) mit Hilfe des Begriffes „Folge von Zahlen“ (f)52 folgendermaßen ausdrücken:
 

x₀ = j (x₁ … x_n) ~(E f) {f₀ = y (x₂ … x_n) & (k) [k < x1 Þ f_k+1 =  (k, f_k, x₂ … x_n)] & x₀ = f_x1}

Wenn S (y, x₂ … x_n) bzw. T (z, x₁ … x_{n + 1})  die nach induktiver Annahme existierenden mit y =  (x₂ … x_n) bzw. z =  (x₁ … x_{n + 1}) äquivalenten arithmetische Relationen sind, gilt daher:

x₀ = j (x₁ … x_n) ~(E f) {S (f₀ =  (x₂ … x_n) & (k) [k < x1 Þ T (f_k+1, k, f_k, x₂ … x_n)] & x₀ = f_x1}

Nun ersetzen wir den Begriff “Folge von Zahlen” durch “Paar von Zahlen”, indem wir dem  Zahlenpaar n, d die Zahlenfolge f^{(n, d)} (f_k^{(n, d)} = [n]_{1 + (k + 1) d}) zuordnen, wobei [n]_p den kleinsten nicht  negativen Rest von n modulo p bedeutet.

Es gilt dann der

Hilfssatz 1: Ist f eine beliebige Folge natürlicher Zahlen und k eine beliebige natiirliche Zahl, so  gibt es ein Paar von natürlichen Zahlen n, d, so daß f^{(n, d)} und f in den ersten k Gliedern  übereinstimmen.

Beweis: Sei l die größte der Zahlen k, f₀, f₁, … f_{k - 1}. Man bestimme n so, daß:

n º f_i [mod (1 + (i + 1) l!)] für i = 0, 1, ... k - 1

was möglich ist, da je zwei der Zahlen 1 + (i + 1) l! (i = 0, 1, ... k – 1) relativ prim sind. Denn eine  in zwei von diesen Zahlen enthaltene Primzahl müßte auch in der Differenz (i₁ – i₂) l! und daher  wegen |i1 - i2| < l in l! enthalten sein, was unmöglich ist. Das Zahlenpaar n, l! leistet dann das  Verlangte.

Da die Relation x = [n]_p durch:

x º n (mod p) & x < p

definiert und daher arithmetisch ist, so ist auch die folgendermaßen definierte Relation P (x₀, x_l …  x_n):

P (x₀ ... x_n) º (E n, d) {S[([n]_{d + 1,} x₂ ... x_n) & (k) [k < x₁ Þ T ([n]1 + d (k + 2), k, [n]1 + d (k + 1), (x_{2 …} x_n)] & x₀ = [n]_{1 + d (x1 + 1)}}

arithmetisch, welche nach (17) und Hilfssatz 1 mit: x₀ = j (x₁ … x_n) äquivalent ist (es kommt bei  der Folge f in (17) nur auf ihren Verlauf bis zum x₁ + 1-ten Glied an). Damit ist Satz VII bewiesen.

Gemäß Satz VII gibt es zu jedem Problem der Form (x)F(x) (F rekursiv) ein äquivalentes  arithmetisches Problem und da der ganze Beweis von Satz VII sich (für jedes spezielle F) innerhalb

des Systems P formalisieren läßt, ist diese Äquivalenz in P beweisbar. Daher gilt:
 

Satz VIII: In jedem der in Satz VI genannten formalen Systeme53 gibt es unentscheidbare arithmetische Sätze.
 

Dasselbe gilt (nach der Bemerkung auf Seite 190) für das Axiomensystem der Mengenlehre und dessen Erweiterungen durch v-widerspruchsfreie rekursive Klassen von Axiomen.

Wir leiten schließlich noch folgendes Resultat hier:

Satz IX: In allen in Satz VI genannten formalen Systemen (⁵³) gibt es unentscheidbare Probleme des  engeren Funktionenkalküls54 (d. h. Formeln des engeren Funktionenkalküls, für die weder  Allgemeingültigkeit noch Existenz eines Gegenbeispiels beweisbar ist)55.

Dies beruht auf:

Satz X: Jedes Problem der Form (x)F(x) (F rekursiv) läßt sich zurückführen auf die Frage nach der  Erfüllbarkeit einer Formel des engeren Funktionenkalküls (d.h. zu jedem rekursiven F kann man  eine Formel des engeren Funktionenkalküls angeben deren Erfüllbarkeit mit der Richtigkeit von  (x)F(x) äquivalent ist).

Zum engeren Funktionenkalkül (e. F.) rechnen wir diejenigen Formeln, welche sich aus den  Grundzeichen: ~, Ú, (x), =; x, y ... (Individuenvariable) F (x), G (x, y), H (x, y, z)... (Eigenschafts-  und Relationsvariable) aufbauen56, wobei (x) und = sich nur auf Individuen beziehen dürfen. Wir  fügen zu diesen Zeichen noch eine dritte Art von Variablen j (x), w (x, y), c (x, y, z) etc. hinzu, die  Gegenstandsfunktionen vertreten (d. h. j (x), w (x, y) etc.) bezeichnen eindeutige Funktionen, deren  Argumente und Werte Individuen sind57. Eine Formel, die außer den zuerst angeführten Zeichen des e. F. noch Variable dritter Art j ( (x), w (x, y) ... etc.) enthält, soll eine Formel im weiteren Sinne (i. w. S.) heißen58. Die Begriffe "erfüllbar", "allgemeingültig" übertragen sich ohneweiters auf Formeln i. w. S. und es gilt der Satz, daß man zu jeder Formel i. w. S. A eine gewöhnliche Formel  des e. F. B angeben kann, so daß die Erfüllbarkeit von A mit der von B äquivalent ist. B erhält man  aus A, indem man die in A vorkommenden Variablen dritter Art j (x), w (x, y) ... durch Ausdrücke der  Form: (i, z) F (z, x), (i, z) G (z, x, y) ... ersetzt, die "beschreibenden" Funktionen im Sinne der PM. I * 14  auflöst und die so erhaltene Formel mit einem Ausdruck logisch multipliziert59, der besagt, daß sämtliche an Stelle der j, w .. gesetzte F, G .. hinsichtlich der ersten Leerstelle genau eindeutig sind.

Wir zeigen nun, daß es zu jedem Problem der Form (x)F(x) (F rekursiv) ein äquivalentes betreffend  die Erfüllbarkeit einer Formel i.w.S. Gibt, woraus nach der eben gemachten Bemerkung Satz X  folgt.

Da F rekursiv ist, gibt es eine rekursive Funktion F (x), so daß F(x) ~[F (x) = 0], und für F gibt es  eine Reihe von Funktionen F₁, F₂ ... F_n, so daß: F_n = F, F₁ (x) = x + 1 und für jedes F_k (1 < k ≦ n) entweder:

1. (x₂, ... x_m) [F_k (0, x₂ ... x_m) = F_p (x₂ ... x_m)]                                      (18)

(x, x₂ ... x_m) {F_k [F₁ (x), x₂ ... x_m] = F_q [x, F_k (x, x₂ ... x_m), x₂ ... x_m]}

p, q < k

oder:

2. (x₁ ... x_m) [F_k (x₁ ... x_m) = F_r (F_i1 (Á₁) ... F_is (Á_n))][60]                (19)

r < k, i_ʋ < k (für ʋ = l, 2 ... s)

oder:

3. (x₁ ... x_m) [F_k (x₁ ... x_m)] = F₁ (F₁ ... F₁ (0))]                                   (20)

Ferner bilden wir die Sätze:

(x) F₁ (x) = 0 & (x, y) [F₁ (x) = F₁ (y) Þ x = y]                                (21)

                                            (x) [F_n (x) = 0]                                          (22)

 

Wir ersetzen nun in allen Formeln (18), (19), (20) (für k = 2, 3 . . . n) und in (21) (22) die  Funktionen i durch Funktionsvariable i, die Zahl 0 durch eine sonst nicht vorkommende Individuenvariable 0 und bilden die Konjunktion C sämtlicher so erhaltener Formeln.

Die Formel (E x0) C hat dann die verlangte Eigenschaft, d. b.

1. Wenn (x) [ (x) = 0] gilt, ist (E x0) C erfüllbar, denn die Funktionen F₁, F₂ ... F_n ergeben dann offenbar in (E x0) C für 1, 2 ... n eingesetzt einen richtigen Satz.

2. Wenn (E x0) C erfüllbar ist, gilt (x) [F (x) = 0].

Beweis: Seien Ψ₁, Ψ₂ ... Ψ_n die nach Voraussetzung existierenden Funktionen, welche in (E x₀) C für φ₁, φ₂ ... φ_n eingesetzt einen richtigen Satz liefern. Ihr Individuenbereich sei Á. Wegen der Richtigkeit von (E x₀) C für die Funktionen Ψ_i gibt es ein Individuum a (aus Á), so daß sämtliche  Formeln (18) bis (22) bei Ersetzung der F_i durch Ψ_i und von 0 durch a in richtige Sätze (18') bis  (22') übergehen. Wir bilden nun die kleinste Teilklasse von Á, welche a enthält und gegen die Operation Ψ₁ (x)  abgeschlossen ist. Diese Teilklasse (Á) hat die Eigenschaft, daß jede der Funktionen Ψ_i, auf  Elemente aus Á angewendet wieder Elemente aus Á ergibt. Denn für Ψ₁ gilt dies nach Definition  von Á und wegen (18'), (19'), (20') überträgt sich diese Eigenschaft von Ψ_i mit niedrigerem Index  auf solche mit höherem. Die Funktionen, welche aus Ψ_i durch Beschränkung auf den Individuenbereich Á entstehen, nennen wir Ψ_i'. Auch für diese Funktion gelten sämtliche Formeln  (18) bis (22) (bei der Ersetzung von 0 durch a und F_i durch Ψ_i').

Wegen der Richtigkeit von (21) für Ψ₁' und a kann man die Individuen aus Á eineindeutig auf die natürlichen Zahlen abbilden u. zw. so, daß a in 0 und die Funktion Ψ₁' in die Nachfolgerfunktion F₁  übergeht. Durch diese Abbildung gehen aber sämtliche Funktionen Ψ_i' in die Funktionen F_i über  und wegen der Richtigkeit von (22)

für Ψ_nʹ und a gilt (x) [F_n (x) = 0], oder (x) [F (x) = 0], was zu beweisen war61.

Da man die Überlegungen, welche zu Satz X führen, (für jedes spezielle F) auch innerhalb des Systems P durchführen kann, so ist die Äquivalenz zwischen einem Satz der Form (x) F (x) (F  rekursiv) und der Erfüllbarkeit der entsprechenden Formel des e. F. in P beweisbar und daher folgt aus der Unentscheidbarkeit des einen die des anderen, womit Satz IX bewiesen ist.[61]

[Section] 4.

Aus den Ergebnissen von Abschnitt 2 folgt Bin merkwürdiges Resultat, bezüglich eines Widerspruchslosigkeitsbeweises des Systems P (und seiner Erweiterungen), das durch folgenden Satz ausgesprochen wird:

Satz XI: Sei x eine beliebige rekursive widerspruchsfreie[62] Klasse von Formeln, dann gilt: Die  Satzformel, welche besagt, daß x widerspruchsfrei ist, ist nicht x-beweisbar; insbesondere ist die Widerspruchsfreiheit von P in P unbeweisbar[63], vorausgesetzt, daß P widerspruchsfrei ist (im entgegengesetzten Fall ist natürlich jede Aussage beweisbar).

Der Beweis ist (in Umrissen skizziert) der folgende: Sei x eine beliebige für die folgenden Betrachtungen ein für allemal gewählte rekursive Klasse von Formeln (im einfachsten Falle die  leere Klasse). Zum Beweise der Tatsache, daß 17 Gen r nicht x-beweisbar ist[64], wurde, wie aus 1.  Seite 189 hervorgeht, nur die Widerspruchsfreiheit von x benutzt, d, h. es gilt:

Wid (x) Þ Bew_x (17 Gen r)                                                                (23)

d. h. nach (6·1):

Wid (x) Þ (x) x B_x (17 Gen r)

Nach (13) ist 17 Gen r = S b (p (19 / Z(p))) und daher:

Wid (x) Þ (x) x B_x S b (p (19 / p Z(p)))

d. h. nach (8·1):

Wid (x) Þ (x) Q (x, p)                                                   (24)

Wir stellen nun folgendes fest: Sämtliche in Abschnitt 266 und Abschnitt 4 bisher definierte Begriffe (bzw. bewiesene Behauptungen) sind auch in P ausdrückbar (bzw. beweisbar). Denn es wurden überall nur die gewöhnlichen Definitions- und Beweismethoden der klassischen Mathematik verwendet, wie sie im System P formalisiert sind. Insbesondere ist z (wie jede rekursive Klasse) in P definierbar. Seit w die Satzformel, durch welche in P Wid (x) ausgedrückt wird. Die Relation Q (x, y) wird gemäß (8·1), (9), (10) durch das Relationszeichen q ausgedrückt,  folglich Q (x, p) durch r [ da nach (12) r = S b (q (19 / Z(p))] und der Satz (x) Q (x, p) durch 17 Gen r.

Wegen (24) ist also w Imp (17 Gen r) in P beweisbar67 (um so mehr x-beweisbar). Wäre nun v x-beweisbar, so wäre auch 17 Gen r x-beweisbar und daraus würde nach (23) folgen, daß x nicht widerspruchsfrei ist.

Es sei bemerkt, daß auch dieser Beweis konstruktiv ist, d. h. er gestattet, falls ein Beweis aus x für w vorgelegt ist, einen Widerspruch aus x effektiv herzuleiten. Der ganze Beweis für Satz XI läßt sich wörtlieh auch auf das Axiomensystem der Mengenlehre M und der klassischen Mathematik68 A übertragen und liefert auch hier das Resultat: Es gibt keinen Widerspruchslosigkeitsbeweis für M bzw. A, der innerhalb von M bzw. A formalisiert werden könnte, vorausgesetzt daß M bzw. A widerspruchsfrei ist. Es sei ausdrücklich bemerkt, daß Satz XI (und die entsprechenden Resultate  über M, A) in keinem Widerspruch zum Hilbertschen formalistischen Standpunkt stehen. Denn dieser setzt nur die Existenz eines mit finiten Mitteln geführten Widerspruchsfreiheitsbeweises voraus und es wäre denkbar, daß es finite Beweise gibt, die sich in P (bzw. M, A) nicht darstellen lassen.

Da für jede widerspruchsfreie Klasse x, v nicht x-beweisbar ist, so gibt es schon immer dann (aus x)  unentscheidbare Sätze (nämlich w), wenn Neg (w) nicht x-beweisbar ist; m. a. W. man kann in Satz VI

die Voraussetzung der v-Widerspruchsfreiheit ersetzen durch die folgende: Die Aussage "x ist  widerspruchsvoll" ist nicht x-beweisbar.

(Man beachte, daß es widerspruchsfreie x gibt, für die diese Aussage x-beweisbar ist.)

Wir haben uns in dieser Arbeit im wesentlichen auf das System P beschränkt und die Anwendungen  auf andere Systeme nur angedeutet. In voller Allgemeinheit werden die Resultate in einer demnächst erscheinenden Fortsetzung ausgesprochen und bewiesen werden. In dieser Arbeit wird  auch der nur skizzenhaft geführte Beweis von Satz XI ausführlich dargestellt werden.

 

(Eingelangt: 17. XI. 1930.)

 

 

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Temporary note: The szmbol, Á, has been used incorrectly in the above text and I am to replace it with something like ʒ´, Ҙ´, or Ӡ´, whereof the last is probably the best. - Olsnes-Lea, the provider for this!

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Notes:49  Die Null wird hier und im folgenden immer mit zu den natarlichen

      Zahlen gerechnet.

50  Das Definiens eines solchen Begriffes muß sich also allein mittels der

      angeführten Zeichen, Variablen für natürliche Zahlen x, y, . . . und den Zeiehen

      0, 1 aufbauen (Funktions- und Mengenvariable dürfen nicht vorkommen). (In den

      Präfixen darf statt x natürlich auch jede andere Zahlvariable stehen.)

51 Es brauchen natürlich nicht alle x1 . . . xn in den ci tatsächlich vorzukommen [vgl. das Beispiel  in Fußnote 27].

52 f bedeutet hier eine Variable, deren Wertbereich die Folgen natürl. Zahlen sind. Mit fk wird das k + 1-te Glied einer Folge f bezeichnet (mit f0 das erste).

53  Das sind diejenigen v-widerspruchsfreien Systeme, welche aus P durch Hinzufügung einer rekursiv definierbaren Klasse von Axiomen entstehen.

54  Vgl. Hilbert-Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik.

      Im System P sind unter Formeln des engeren Funktionenkalküls diejenigen zu verstehen, welche aus den Formeln des engeren Funktionenkalküls der PM durch die auf S.176 angedeutete Ersetzung der Relationen durch Klassen höheren Typs entstehen.

55  In meiner Arbeit: Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls, Monatsh. f. Math. u. Phys.  XXXVII, 2, habe ich gezeigt, daß jede Formel des engeren Funktionenkalküls entweder als allgemeingültig  nachweisbar ist oder ein Gegenbeispiel existiert; die Existenz dieses Gegenbeispiels ist aber nach Satz IX nicht immer  nachweisbar (in den angeführten formalen Systemen).

56  D. Hilbert and W. Ackermann rechnen in dem eben zitierten Buch das Zeichen = nicht zum  engeren Funktionenkalkül. Es gibt aber zu jeder Formel, in der das Zeichen = vorkommt, eine  solche ohne dieses Zeichen, die mit der ursprünglichen gleichzeitig erfüllbar ist (vgl. die in  Fußnote ⁵⁵) zitierte Arbeit).

57  Und zwar soll der Definitionsbereich immer der ganze Individuenbereich sein.

58  Variable dritter Art dürfen dabei an allen Leerstellen für Individuenvariable stehen, z.B.: y = (x), F(x,  (y)), G [(x, (y)), x] : usw.

59  D.h. die Konjunktion bildet.

60 Á_i (i = l .. s) vertreten irgend welche Komplexe der Variablen x1, x2 ... xm, z. B.: x1 x3 x2.

⁶¹ Aus Satz X folgt z. B., daß das Fermatsche und das Goldbachsche Problem 1ösbar wären, wenn  man das Entscheidungsproblem des e. F. gelöst hätte.

⁶² Satz IX gilt natürlich auch für das Axiomensystem der Mengenlehre und dessen Erweiterungen durch rekursiv definierbare w-widerspruchsfreie Klassen von Axiomen, da es ja auch in diesen Systemen unentscheidbare Sätze der Form (x) F (x) (F rekursiv) gibt.

⁶³ x ist widerspruchsfrei (abgekürzt als Wid (x)) wird folgendermaßen definiert: Wid (x) ≡ (E x)  [Form (x) & Bewx (x)].

⁶⁴ Dies folgt, wenn man für x die leere Klasse von Formeln einsetzt.

⁶⁵ r hängt natürlich (ebenso wie p) von x ab.

66 Von der Definition für "rekursiv" auf Seite 179 bis zum Beweis von Satz VI inkl.

67 Daß aus (23) auf die Riehtigkeit von v Imp (17 Gen r) geschlossen werden kann, beruht einfach darauf, daß der unentscheidbare Satz 17 Gen r, wie gleich zu Anfang bemerkt, seine eigene Unbeweisbarkeit behauptet.

68 Vgl. J. v. Neumann, Zur Hilbertschen Beweistheorie, Math. Zeitschr. 26, 1927.

 

The rest is coming (section 3 and 4), wholly translated! Notes are now in.

 

Hirzel's paper: Hirzel, Martin, 2000, On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I., successful, I think.

 

I am no novice and I hold credits, respects, as achievements, the Fitch presentation of Gödel's Ontological Argument, now damn clear, and for resetting the above mentioned paper totally new and toward completeness myself, countering this paper and envisioning a new angle toward investigations to completeness instead, introducing the two levels of axioms and logical results as basis for this! Cheers!